Anziché lavorare direttamente con i vettori tangenti, risulta essere più vantaggioso adottare il punto di vista duale e lavorare con funzionali lineari sullo spazio tangente.
Dopotutto, non c'è molto che possiamo fare con i campi vettoriali;
questi essenzialmente mappano punti a frecce, e le frecce operano in modo assai limitato.
Le funzioni sono invece molto più flessibili: possono essere sommate, moltiplicate per scalari, e composte con altre mappe.
Una volta che ammettiamo funzionali lineari sullo spazio tangente, possiamo poi passare tranquillamente a dimensioni superiori considerando funzioni in più argomenti, lineari in ciascuno di essi.
In questa sezione diamo quindi un'occhiata alle principali nozioni sulle applicazioni multilineari, che ci serviranno poi come fondamento algebrico per la teoria delle forme differenziali.
Come abbiamo accennato prima, consideriamo come prima cosa le funzioni con più argomenti, lineari rispetto a ciascuno di essi.
Sia
Consideriamo
Una funzione
Invece di 2-lineare e 3-lineare, è consuetudine dire "bilineare" e "trilineare".
L'insieme di tutte le forme
questo insieme è un
Poniamo anche
Facciamo alcuni esempi.
In
dati due vettori
Dati
Per le proprietà del determinante, la funzione
Dati due vettori
Il seguente esempio di forme multilineari probabilmente non è altrettanto familiare, ma è di estrema importanza.
Sia
Siano
Si dice prodotto tensoriale di
Evidentemente,
Osservazione: L'operazione del prodotto tensoriale gode di buone proprietà, ad esempio la multilinearità:
L'utilità del prodotto tensoriale sta anche nella descrizione una base per lo spazio
(Teniamo presente che una base per un
Sia
Si supponga che
sia
È una base per
La dimostrazione è piuttosto semplice, ma la omettiamo in quanto non ci interessa per i nostri scopi.
Data una forma multilineare, possiamo permutare l'ordine dei suoi argomenti, ottenendo una nuova forma multilineare;
abbiamo quindi la seguente definizione.
Sia
Sia
sia
Si definisce azione di
Tra le forme multilineari, alcune come il determinante (Esempio 3.6.3) e il prodotto vettoriale (Esempio 3.6.4) hanno una proprietà peculiare:
se due argomenti vengono scambiati, il risultato cambia segno.
Alle forme multilineari di questo tipo riserviamo un nome speciale:
Sia
Una forma
Fu Grassmann a riconoscere per primo l'importanza di queste forme speciali, costruendo con queste una struttura ora chiamata prodotto esterno.
Vedremo che, grazie a questa, potremo generalizzare parti del calcolo vettoriale riservato al solo
Vediamo come si definisce questa struttura, e come è correlata con la proprietà alternante.
Sia
Definiamo in
Si definisce prodotto esterno
la classe
Per convenzione si pone
L'idea di questa definizione è di rendere alternante il prodotto esterno tra forme lineari.
Infatti, quozientare con il sottomodulo
dalla multilinearità del prodotto tensoriale, troviamo che questa proprietà implica (addirittura equivale a) la condizione
Poiché ogni permutazione si può scrivere come composizione di trasposizioni, questa condizione implica (dunque equivale a) la più generale
Fatte queste considerazioni, possiamo ad esempio fare uso della Proposizione 3.6.6 per determinare una base di
Sia
Si supponga che
sia
È una base per