Note 2
3.6 - Un Po' di Algebra Multilineare

Anziché lavorare direttamente con i vettori tangenti, risulta essere più vantaggioso adottare il punto di vista duale e lavorare con funzionali lineari sullo spazio tangente.
Dopotutto, non c'è molto che possiamo fare con i campi vettoriali;
questi essenzialmente mappano punti a frecce, e le frecce operano in modo assai limitato.
Le funzioni sono invece molto più flessibili: possono essere sommate, moltiplicate per scalari, e composte con altre mappe.

Una volta che ammettiamo funzionali lineari sullo spazio tangente, possiamo poi passare tranquillamente a dimensioni superiori considerando funzioni in più argomenti, lineari in ciascuno di essi.

In questa sezione diamo quindi un'occhiata alle principali nozioni sulle applicazioni multilineari, che ci serviranno poi come fondamento algebrico per la teoria delle forme differenziali.

Il prodotto tensoriale
...

Come abbiamo accennato prima, consideriamo come prima cosa le funzioni con più argomenti, lineari rispetto a ciascuno di essi.

Definizione 3.6.1 (Forme multilineari, Prodotto tensoriale).

Sia un anello commutativo unitario, e sia un -modulo.
Consideriamo , il prodotto cartesiano di copie di , come -modulo con le operazioni componente per componente.

Una funzione si dice forma -lineare (o -tensore, o tensore di grado ) su , quando è lineare in ciascuno dei suoi argomenti: per ogni e .

Invece di 2-lineare e 3-lineare, è consuetudine dire "bilineare" e "trilineare".

L'insieme di tutte le forme -lineari su si denota con , ed è detto prodotto tensoriale volte di .
questo insieme è un -modulo con le operazioni standard tra funzioni:

Poniamo anche per convenzione.

​
Facciamo alcuni esempi.

Esempio 3.6.2 (Prodotto scalare euclideo standard su ).

In consideriamo il prodotto scalare euclideo standard;
dati due vettori e poniamo Si vede subito che la funzione è una forma bilineare su .

​

Esempio 3.6.3 (Determinante).

Dati vettori colonna in , possiamo considerare il determinante .

Per le proprietà del determinante, la funzione è una forma -lineare su .

Esempio 3.6.4 (Prodotto vettoriale).

Dati due vettori , consideriamo il loro prodotto vettoriale: Rientrando nell'Esempio 3.6.3 (anche se la matrice in questo caso ha anche entrate vettoriali), troviamo che la funzione è una forma bilineare su .

Il prodotto tensoriale di forme lineari
...

Il seguente esempio di forme multilineari probabilmente non è altrettanto familiare, ma è di estrema importanza.

Definizione 3.6.5 (Prodotto tensoriale di forme lineari).

Sia un anello commutativo unitario, e sia un -modulo.
Siano forme lineari, essenzialmente elementi dello spazio duale .

Si dice prodotto tensoriale di la funzione

Evidentemente, è un elemento di .

​

Inn

Osservazione: L'operazione del prodotto tensoriale gode di buone proprietà, ad esempio la multilinearità:

L'utilità del prodotto tensoriale sta anche nella descrizione una base per lo spazio .
(Teniamo presente che una base per un -modulo si definisce esattamente come per uno spazio vettoriale; non cambia nulla.)

Proposizione 3.6.6 (Base per il prodotto tensoriale su un modulo).

Sia un anello commutativo unitario, e sia un -modulo.
Si supponga che sia una base per ;
sia la sua base duale in (in cui quindi si ha ; la delta di Kronecker è ancora ben definita in essendo unitario.)

È una base per l'insieme

La dimostrazione è piuttosto semplice, ma la omettiamo in quanto non ci interessa per i nostri scopi.

Il prodotto esterno
...

Forme multilineari e permutazioni degli argomenti
...

Data una forma multilineare, possiamo permutare l'ordine dei suoi argomenti, ottenendo una nuova forma multilineare;
abbiamo quindi la seguente definizione.

Definizione 3.6.7 (Azione di una permutazione su un tensore).

Sia un anello commutativo unitario, e sia un -modulo.
Sia ;
sia , ovvero una permutazione di .

Si definisce azione di su la forma -lineare , definita ponendo

Le forme alternanti e la definizione di prodotto esterno
...

Tra le forme multilineari, alcune come il determinante (Esempio 3.6.3) e il prodotto vettoriale (Esempio 3.6.4) hanno una proprietà peculiare:
se due argomenti vengono scambiati, il risultato cambia segno.
Alle forme multilineari di questo tipo riserviamo un nome speciale:

Definizione 3.6.8 (Forme multilineari alternanti).

Sia un anello commutativo unitario, e sia un -modulo.
Una forma -lineare si dice alternante quando dove èè.

Fu Grassmann a riconoscere per primo l'importanza di queste forme speciali, costruendo con queste una struttura ora chiamata prodotto esterno.
Vedremo che, grazie a questa, potremo generalizzare parti del calcolo vettoriale riservato al solo , come il prodotto vettoriale, al generico .

Vediamo come si definisce questa struttura, e come è correlata con la proprietà alternante.

Definizione 3.6.9 (Prodotto esterno).

Sia un anello commutativo unitario, e sia un -modulo.
Definiamo in il sottomodulo

Si definisce prodotto esterno volte su , l'-modulo quoziente ;
la classe si denota con , e prende il nome di prodotto esterno di .

Per convenzione si pone .

L'idea di questa definizione è di rendere alternante il prodotto esterno tra forme lineari.
Infatti, quozientare con il sottomodulo corrisponde essenzialmente a imporre, per ogni , la condizione ogni qualvolta esistono distinti con ;
dalla multilinearità del prodotto tensoriale, troviamo che questa proprietà implica (addirittura equivale a) la condizione che è la condizione alternante nel caso delle trasposizioni (ossia permutazioni che scambiano due soli elementi).
Poiché ogni permutazione si può scrivere come composizione di trasposizioni, questa condizione implica (dunque equivale a) la più generale Quindi, questo spazio apparentemente complicato va semplicemente pensato come lo spazio delle combinazioni -lineari di elementi del tipo al variare di , in cui il prodotto esterno ha le proprietà ereditate da passando al quoziente (come la multilinearità), più la proprietà alternante.

Fatte queste considerazioni, possiamo ad esempio fare uso della Proposizione 3.6.6 per determinare una base di :

Proposizione 3.6.10 (Base per il prodotto esterno su un modulo).

Sia un anello commutativo unitario, e sia un -modulo.
Si supponga che sia una base per ;
sia la sua base duale in (in cui quindi si ha ; la delta di Kronecker è ancora ben definita in essendo unitario.)

È una base per l'insieme

Table Of Contents

3.6 - Un Po' di Algebra Multilineare

Il prodotto tensoriale

Il prodotto tensoriale di forme lineari

Il prodotto esterno

Forme multilineari e permutazioni degli argomenti

Le forme alternanti e la definizione di prodotto esterno